我認為 Yann LeCun 等人于 1989 年發(fā)表的論文「反向傳播應用于手寫(xiě)郵政編碼識別」(Backpropagation Applied to Handwritten Zip Code Recognition)，具有相當重要的歷史意義，因為據我所知，這是最早用反向傳播機制端到端訓練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )在現實(shí)生活中的應用。

　　除了其使用的微型數據集(7291 個(gè) 16x16 的灰度數字圖像)和微型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )(僅 1000 個(gè)神經(jīng)元)顯得落伍之外，在 33 年后的今天，這篇論文讀來(lái)仍然十分新穎——它展示了一個(gè)數據集，描述了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )結構、損失函數、優(yōu)化器，并報告了在訓練集和測試集上實(shí)驗得到的錯誤率。

　　除了時(shí)光已流逝 33 年，這篇文章仍是一篇標準的深度學(xué)習論文。因此，我此次復現這篇論文，一是為了好玩，二是將這次練習作為一個(gè)案例來(lái)研究深度學(xué)習進(jìn)展的本質(zhì)。

　　實(shí)施細節

　　我試著(zhù)盡可能與這篇論文保持一致，并用 PyTorch 復現了 GitHub repo 上 karpathy/lecun1989-repro 中的所有內容。

　　最初的網(wǎng)絡(luò )部署在 Lisp 上，使用 Bottou 和 LeCun 1988 年發(fā)表的「backpropagation simulator SN(后來(lái)命名為 Lush)」。

　　這篇論文是用法語(yǔ)寫(xiě)的，所以我沒(méi)有更好地理解它，但從結構上來(lái)看，你可以使用更高級的 API 來(lái)構造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )，就像你今天在 PyTorch 上搭建各式各樣的項目那樣。

　　作為軟件設計的簡(jiǎn)要說(shuō)明，現代程序庫采用了一種分為 3 部分的設計：

　　1)一個(gè)高速(C/CUDA)通用張量庫，能在多維張量上實(shí)現基本的數學(xué)運算;

　　2)一個(gè)自動(dòng)求導引擎，能跟蹤正向計算特征，并能提供反向傳播操作;

　　3)可編程(Python)的深度學(xué)習編碼器，高級的 API，需要包含常見(jiàn)的深度學(xué)習操作，比如構建層、架構、提供優(yōu)化器、損失函數等。

　　訓練細節

　　在訓練過(guò)程中，我們必須在有 7291 個(gè)示例的訓練集上訓練 23 個(gè)周期，總共向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )傳送了 167693 次數據(包含樣本和標簽)。最初的網(wǎng)絡(luò )在 SUN-4/260 工作站上訓練了 3 天。

　　我在我的 MacBook Air(M1)CPU 上運行了我的實(shí)現，并在大約 90 秒的時(shí)間內完成了運行(約 3000 倍的顯著(zhù)提速)。

　　我的 conda 設置為使用本機 AMD64 版本，而不是 Rosetta 仿真。如果 Pytorch 支持 M 1(包括 GPU 和 NPU)的全部功能，加速可能會(huì )更顯著(zhù)，但這似乎仍在開(kāi)發(fā)中。

　　我還天真地嘗試在一張 A100 GPU 上運行代碼，但實(shí)際上訓練速度更慢了，很可能是因為網(wǎng)絡(luò )太小了(4 個(gè)卷積層，最多 12 個(gè)通道，總共 9760 個(gè)參數，64 K 位址量，1 K 激活值)，SGD 每次只能使用一個(gè)樣本。

　　這就是說(shuō)，如果真的想用現代硬件(A100)和軟件基礎設施(CUDA、PyTorch)解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要用每個(gè)樣本的 SGD 過(guò)程來(lái)交換完整的批量訓練，以最大限度地提高 GPU 利用率，并很可能實(shí)現另一個(gè)約 100 倍的訓練耗時(shí)提速。

　　復現 1989 年的表現

　　原論文展示的結果如下：

　　eval: split train. loss 2.5e-3. error 0.14%. misses: 10

　　eval: split test . loss 1.8e-2. error 5.00%. misses: 102

　　而我的復現代碼在同時(shí)期的表現如下：

　　eval: split train. loss 4.073383e-03. error 0.62%. misses: 45

　　eval: split test . loss 2.838382e-02. error 4.09%. misses: 82

　　由此可見(jiàn)，我只能粗略地再現這些結果，卻不能做到完全一樣?？杀氖?，很可能永遠無(wú)法進(jìn)行精確復現了，因為我認為原始數據集已經(jīng)被遺棄在了時(shí)間的長(cháng)河中。

　　相反，我不得不使用更大的 MNIST 數據集(哈哈，我從沒(méi)想過(guò)我會(huì )用「大」來(lái)形容它)來(lái)模擬它，取其 28x28 位，通過(guò)雙線(xiàn)性插值將其縮小到 16x16 像素，并隨機地從中提取合理數量的訓練集和測試集樣本。

　　但我相信還有其他罪魁禍首。例如，這篇論文對權重初始化方案的描述有點(diǎn)過(guò)于抽象，我懷疑 PDF 文件中存在一些格式錯誤，例如，刪除點(diǎn)「.」讓「2.5」看起來(lái)像「2 5」，并且有可能(我想是吧?)刪除了平方根。

　　例如，我們被告知權重初始值是從均勻的「2 4/F」中提取的，其中 F 是扇入，但我猜這肯定是(我猜的)指「2.4/sqrt(F)」，其中 sqrt 有助于保持輸出的標準偏差。

　　網(wǎng)絡(luò )的 H1 層和 H2 層之間的特定稀疏連接結構也被忽略了，論文只是說(shuō)它是“根據一個(gè)在這里不會(huì )被討論的方案選擇的”，所以我不得不在這里做出一些合理的猜測，比如使用重疊塊稀疏結構。

　　論文還聲稱(chēng)使用了 tanh 非線(xiàn)性，但我想這實(shí)際上可能是映射 ntanh(1)=1 的「標準化 tanh」，并可能添加了一個(gè)按比例縮小的跳躍連接，這是在當時(shí)很流行的操作，以確保 tanh 平滑的尾部至少有一點(diǎn)梯度。

　　最后，本文使用了「牛頓算法的一個(gè)特殊版本，它使用了 Hessian 的正對角近似值」，但我只使用了 SGD，因為它非常簡(jiǎn)單，更何況根據本文，「人們認為該算法不會(huì )帶來(lái)學(xué)習速度的巨大提高」。

　　坐上時(shí)光車(chē)「作弊」

　　這是我最喜歡的部分。

　　想一下，相比于 1989，我們已經(jīng)在未來(lái)生活了 33 年，這時(shí)的深度學(xué)習是一個(gè)非?；鸨难芯款I(lǐng)域。 利用我們的現代理解和 33 年來(lái)的研發(fā)技術(shù)積累，我們能在原有成果的基礎上提高多少?

　　我最初的結果是：

　　eval: split train. loss 4.073383e-03. error 0.62%. misses: 45 eval: split test . loss 2.838382e-02. error 4.09%. misses: 82

　　歸到目標 -1(負類(lèi))或 +1(正類(lèi))的任務(wù)，輸出神經(jīng)元同樣也具有 tanh 非線(xiàn)性。 所以我刪除了輸出層上的 tanh 以獲得類(lèi)別 logit，并在標準(多類(lèi))交叉熵損失函數中交換。 這一變化極大地改善了訓練錯誤，在訓練集上直接過(guò)擬合了，結果如下：

　　eval: split train. loss 9.536698e-06. error 0.00%. misses: 0 eval: split test . loss 9.536698e-06. error 4.38%. misses: 87

　　其次，根據我的經(jīng)驗，一個(gè)經(jīng)過(guò)微調的 SGD 可以很好地工作，但現代的 Adam 優(yōu)化器(當然，學(xué)習率為 3e-4)幾乎總是作為一個(gè)強大的 baseline，幾乎不需要任何調整。 因此，為了提高我對優(yōu)化不會(huì )影響性能的信心，我選擇了使用學(xué)習率為 3e-4 的 AdamW，并在訓練過(guò)程中逐步將其降至 1e-4，結果如下：

　　eval: split train. loss 0.000000e+00. error 0.00%. misses: 0 eval: split test . loss 0.000000e+00. error 3.59%. misses: 72

　　由于仍然出現了嚴重的過(guò)度擬合，我隨后介紹了一種簡(jiǎn)單的數據增強策略，將輸入圖像水平或垂直移動(dòng)最多 1 個(gè)像素。 然而，由于這模擬了數據集大小的增加，我還必須將訓練周期數數從 23 次增加到 60 次(我已經(jīng)驗證過(guò)在原始設置中單純地增加通過(guò)次數并不能顯著(zhù)改善結果)：

　　eval: split train. loss 8.780676e-04. error 1.70%. misses: 123 eval: split test . loss 8.780676e-04. error 2.19%. misses: 43

　　數據增強是一個(gè)相當簡(jiǎn)單且非常標準的概念，用于克服過(guò)度擬合，但我在 1989 年的論文中沒(méi)有找到它，也許它是一個(gè) 1989 年后才有的創(chuàng )新(我猜的)。

　　由于我們仍然有點(diǎn)過(guò)擬合，我在工具箱中找到了另一個(gè)現代工具，Dropout。 我在參數最多的層(H 3)前加了一個(gè) 0.25 的弱衰減。

　　因為 dropout 將激活設置為零，所以將其與激活范圍為 [-1, 1] 的 tanh 一起使用沒(méi)有多大意義，所以我也將所有非線(xiàn)性替換為更簡(jiǎn)單的 ReLU 激活函數。 因為 dropout 在訓練中會(huì )帶來(lái)更多的噪音，我們還必須訓練更長(cháng)的時(shí)間，增加至最多 80 個(gè)訓練周期，但結果卻變得十分喜人：

　　eval: split train. loss 2.601336e-03. error 1.47%. misses: 106 eval: split test . loss 2.601336e-03. error 1.59%. misses: 32

　　我驗證了在原來(lái)的網(wǎng)絡(luò )中僅僅交換 tanh->relu 并沒(méi)有帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的收益，所以這里的大部分改進(jìn)都來(lái)自于增加了 dropout。

　　總之，如果我能時(shí)光旅行到 1989 年，我將能夠減少大約 60% 的錯誤率，使我們從約 80 個(gè)錯誤減少到約 30 個(gè)錯誤，測試集的總體錯誤率約為 1.5%。

　　這并不是完全沒(méi)有代價(jià)的，因為我們還將訓練時(shí)間增加了近 4 倍，這將使 1989 年的訓練時(shí)間從 3 天增加到近 12 天。但推理速度不會(huì )受到影響。

　　剩下的測試失敗樣本如下所示：

　　更進(jìn)一步

　　然而，在替換 MSE->Softmax，SGD->AdamW，添加數據增強，dropout，交換 tanh→relu 之后，我開(kāi)始逐漸減少依賴(lài)觸手可得的技巧。

　　我嘗試了更多的方法(例如權重標準化)，但沒(méi)有得到更好的結果。 我還嘗試將 Visual Transformer(ViT)小型化為「 micro-ViT」，大致在參數量和計算量上與之前相符，但無(wú)法仿真 convnet 的性能。

　　當然，在過(guò)去的 33 年里，我們還研究出了許多其他創(chuàng )新，但其中許多創(chuàng )新(例如，殘差連接，層/批次標準化)只適用于更大的模型，并且大多有助于穩定大規模優(yōu)化。

　　在這一點(diǎn)上，進(jìn)一步的收益可能來(lái)自網(wǎng)絡(luò )規模的擴大，但這會(huì )增加測試的推斷時(shí)間。

　　用數據「作弊」

　　另一種提高性能的方法是擴大數據集的規模，盡管完成數據標注需要一些成本。

　　我們在最初的 baseline(再次作為消融參考)上測試結果是：

　　eval: split train. loss 4.073383e-03. error 0.62%. misses: 45 eval: split test . loss 2.838382e-02. error 4.09%. misses: 82

　　讓 baseline 訓練 100 個(gè)周期，這已經(jīng)表明僅僅增加數據就能提高性能：

　　eval: split train. loss 1.305315e-02. error 2.03%. misses: 60 eval: split test . loss 1.943992e-02. error 2.74%. misses: 54

　　但進(jìn)一步將其與當代知識的創(chuàng )新(如前一節所述)結合在一起，將帶來(lái)迄今為止最好的表現：

　　eval: split train. loss 3.238392e-04. error 1.07%. misses: 31 eval: split test . loss 3.238392e-04. error 1.25%. misses: 24

　　總而言之，在 1989 年簡(jiǎn)單地擴展數據集將是提高系統性能的有效方法，且不需要犧牲推理時(shí)間。

　　反思

　　讓我們總結一下我們在 2022 年時(shí)，作為一名時(shí)間旅行者考察 1989 年最先進(jìn)的深度學(xué)習技術(shù)時(shí)所學(xué)到的：

　　首先，33 年來(lái)宏觀(guān)層面上沒(méi)有太大變化。我們仍在建立由神經(jīng)元層組成的可微神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )結構，并通過(guò)反向傳播和隨機梯度下降對其進(jìn)行端到端優(yōu)化。所有的東西讀起來(lái)都非常熟悉，只是 1989 時(shí)它們的體量比較小。

　　按照今天的標準，1989 年的數據集就是一個(gè)「嬰兒」：訓練集只有 7291 個(gè) 16x16 的灰度圖像。今天的視覺(jué)數據集通常包含數億張來(lái)自網(wǎng)絡(luò )的高分辨率彩色圖像(例如，谷歌有 JFT-300M，OpenAI CLIP 是在 400M 的數據集上訓練的)，但仍會(huì )增長(cháng)到幾十億。這大約是此前每幅圖像約一千倍的像素信息(384*384*3/(16*16))乘以十萬(wàn)倍的圖像數(1e9/1e4)，輸入的像素數據的差距約為一億倍。

　　那時(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )也是一個(gè)「嬰兒」：這個(gè) 1989 年的網(wǎng)絡(luò )有大約 9760 個(gè)參數、64 K 個(gè)位址和 1 K 個(gè)激活值?，F代(視覺(jué))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )的規模通常有幾十億個(gè)小參數(1000000X)和 O(~1e12)個(gè)位址數(~1000000X)，而自然語(yǔ)言模型甚至可以達到數萬(wàn)億級別的參數量。

　　最先進(jìn)的分類(lèi)器花了 3 天時(shí)間在工作站上訓練，而現在在我的無(wú)風(fēng)扇筆記本電腦上訓練只需 90 秒(3000 倍原始提速)，通過(guò)切換到全批量?jì)?yōu)化并使用 GPU，很可能能進(jìn)一步獲得 100 倍的提升。

　　事實(shí)上，我能夠根據現代的技術(shù)創(chuàng )新調整模型，比如使用數據增強，更好的損失函數和優(yōu)化器，以將錯誤率降低 60%，同時(shí)保持數據集和模型的測試時(shí)間不變。

　　僅通過(guò)增大數據集就可以獲得適度的收益。

　　進(jìn)一步的顯著(zhù)收益可能來(lái)自更大的模型，這將需要更多的計算成本和額外的研發(fā)，以幫助在不斷擴大的規模上穩定訓練。值得一提的是，如果我被傳送到 1989 年，我最終會(huì )在沒(méi)有更強大計算機的情況下，使模型達到改進(jìn)能力的上限。

　　假設這個(gè)練習的收獲在時(shí)間維度上保持不變。2022 年的深度學(xué)習意味著(zhù)什么?2055 年的時(shí)間旅行者會(huì )如何看待當前網(wǎng)絡(luò )的性能?

　　2055 年的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )在宏觀(guān)層面上與 2022 年的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )基本相同，只是更大。

　　我們今天的數據集和模型看起來(lái)像個(gè)笑話(huà)。兩者都在大約上千億倍大于當前數據集和模型。

　　我們可以在個(gè)人電腦設備上用大約一分鐘的時(shí)間來(lái)訓練 2022 年最先進(jìn)的模型，這將成為一個(gè)有趣的周末項目。

　　今天的模型并不是最優(yōu)的，只要改變模型的一些細節，損失函數，數據增強或優(yōu)化器，我們就可以將誤差減半。

　　我們的數據集太小，僅通過(guò)擴大數據集的規模就可以獲得適度的收益。

　　如果不升級運算設備，并投資一些研發(fā)，以有效地訓練如此規模的模型，就不可能取得進(jìn)一步的收益。

　　但我想說(shuō)的最重要的趨勢是， 在某些目標任務(wù)(如數字識別)上從頭開(kāi)始訓練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )的整個(gè)過(guò)程由于過(guò)于精細化而很快變得過(guò)時(shí)，特別是隨著(zhù) GPT 等基礎模型的出現。

　　這些基礎模型只由少數具有大量計算資源的機構來(lái)訓練，并且大多數應用是通過(guò)輕量級的微調網(wǎng)絡(luò )，快速部署工程，數據清洗，模型蒸餾，用專(zhuān)用的推理網(wǎng)絡(luò )來(lái)實(shí)現的。

　　我認為，我們應該期待這一趨勢愈發(fā)蓬勃，而且也已經(jīng)確實(shí)如此。 在最極端的推斷中，你根本不會(huì )想訓練任何神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )。

　　在 2055 年，你將要求一個(gè)千億大小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )超強大腦通過(guò)用英語(yǔ)說(shuō)話(huà)(或思考)來(lái)執行一些任務(wù)。

　　如果你的要求足夠清晰，它會(huì )很樂(lè )意執行的。當然，你也可以自己訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )……但你還有什么訓練的必要呢?
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